三人成虎和贝叶斯公式

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两千多年前的战国时期,魏王的大臣庞葱对魏王说:“如果有人说外面的街市有老虎,您相信吗?”魏王说不信。“如果又有一个人说呢?”魏王说:“我将半信半疑。”“如果有第三个人说呢?”魏王说:“我会相信。”

上面的故事被总结成一个成语,叫“三人成虎”。当一件事情,即使是谣言,被多人说之后,听的人就会相信。这种因为证据的出现而导致人对某个事情的可能性判断的变化,其实就是统计学的贝叶斯公式的应用。

我们假设一开始魏王对“街上有老虎”这个事情的可能性是0.01 。现在有个新的证据\(E\),即有人说街上有老虎。那么听到这个证据后,魏王对“街上有老虎”这个事情的可能性的最新判断是多少呢?

要计算这个数值,就需要用到贝叶斯公式:

$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$$

其中H就是某个假设,比如“街上有老虎”,E就是证据,比如“有人说街上有老虎”。P(H)就是“街上有老虎”的概率,就是魏王一开始认为“街上有老虎”的概率。P(E|H)是指,如果街上有老虎是事实,那么有人说街上有老虎的概率是多少?P(H|E)是指,如果有人说街上有老虎,那么街上真有老虎的概率是多少?P(E)是指出现“有人说街上有老虎”的概率,可以这样计算:

$$P(E)=P(E|H)P(H)+P(E|¬H)P(¬H)$$

其中¬H指的是“街上没有老虎”。

现在假设一开始魏王认为 “街上有老虎” 的概率为0.01,即\(P(H)=0.01\)。假设如果街上有老虎是事实,那么有人说街上有老虎的概率是0.9,如果街上没有老虎,那么有人说街上有老虎的概率是0.1。根据这些值,我们可以算出来,听到有人说街上有老虎后,魏王认为街上有老虎的概率是:

$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}=\frac{0.9\times0.01}{ 0.9\times0.01 + 0.1\times0.99 }=\frac{1}{12}=0.08333…$$

现在魏王对“街上有老虎”的判断已经上升到了0.08了,不过还很低,因此他说“不信”。根据上面的公式,如果有第二个人也说“街上有老虎”,那么魏王的最新判断是什么呢?

$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}=\frac{0.9\times\frac{1}{12}}{ 0.9\times \frac{1}{12} + 0.1\times \frac{11}{12}}=0.45$$

现在魏王对“街上有老虎”的判断已经上升到了0.45了,因此他说“半信半疑”。如果有第三个人也说“街上有老虎”,那么魏王的最新判断是什么呢?

$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}=\frac{0.9\times0.45}{ 0.9\times 0.45 + 0.1\times 0.55}=0.88…$$

现在魏王对“街上有老虎”的判断已经上升到了近九成,怪不得他说“我会相信”。

上面的贝叶斯公式可以这样记:

$$P(H|E)P(E)=P(E|H)P(H)$$

这个公式是对称的,因此更容易记住。另外,这个P(E)的计算其实就是分两种情况,一种是H成立时,一种是H不成立时,这两种情况下E的概率相加即可。3blue1brown的视频非常有帮助:

最后,为了验证你对贝叶斯公式掌握情况,来做做下面这个题吧? 可以把答案留在评论区。

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