两千多年前的战国时期，魏王的大臣庞葱对魏王说：“如果有人说外面的街市有老虎，您相信吗？”魏王说不信。“如果又有一个人说呢？”魏王说：“我将半信半疑。”“如果有第三个人说呢？”魏王说：“我会相信。”
上面的故事被总结成一个成语，叫“三人成虎”。当一件事情，即使是谣言，被多人说之后，听的人就会相信。这种因为证据的出现而导致人对某个事情的可能性判断的变化，其实就是统计学的贝叶斯公式的应用。
我们假设一开始魏王对“街上有老虎”这个事情的可能性是0.01 。现在有个新的证据\(E\)，即有人说街上有老虎。那么听到这个证据后，魏王对“街上有老虎”这个事情的可能性的最新判断是多少呢？
要计算这个数值，就需要用到贝叶斯公式：
$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$$
其中H就是某个假设，比如“街上有老虎”，E就是证据，比如“有人说街上有老虎”。P(H)就是“街上有老虎”的概率，就是魏王一开始认为“街上有老虎”的概率。P(E|H)是指，如果街上有老虎是事实，那么有人说街上有老虎的概率是多少？P(H|E)是指，如果有人说街上有老虎，那么街上真有老虎的概率是多少？P(E)是指出现“有人说街上有老虎”的概率，可以这样计算：
$$P(E)=P(E|H)P(H)+P(E|¬H)P(¬H)$$
其中¬H指的是“街上没有老虎”。
现在假设一开始魏王认为 “街上有老虎” 的概率为0.01，即\(P(H)=0.01\)。假设如果街上有老虎是事实，那么有人说街上有老虎的概率是0.9，如果街上没有老虎，那么有人说街上有老虎的概率是0.1。根据这些值，我们可以算出来，听到有人说街上有老虎后，魏王认为街上有老虎的概率是：
$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}=\frac{0.9\times0.01}{ 0.9\times0.01 + 0.1\times0.99 }=\frac{1}{12}=0.08333…$$
现在魏王对“街上有老虎”的判断已经上升到了0.08了，不过还很低，因此他说“不信”。根据上面的公式，如果有第二个人也说“街上有老虎”，那么魏王的最新判断是什么呢？
$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}=\frac{0.9\times\frac{1}{12}}{ 0.9\times \frac{1}{12} + 0.1\times \frac{11}{12}}=0.45$$
现在魏王对“街上有老虎”的判断已经上升到了0.45了，因此他说“半信半疑”。如果有第三个人也说“街上有老虎”，那么魏王的最新判断是什么呢？
$$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}=\frac{0.9\times0.45}{ 0.9\times 0.45 + 0.1\times 0.55}=0.88…$$
现在魏王对“街上有老虎”的判断已经上升到了近九成，怪不得他说“我会相信”。
上面的贝叶斯公式可以这样记：
$$P(H|E)P(E)=P(E|H)P(H)$$
这个公式是对称的，因此更容易记住。另外，这个P(E)的计算其实就是分两种情况，一种是H成立时，一种是H不成立时，这两种情况下E的概率相加即可。3blue1brown的视频非常有帮助：
最后，为了验证你对贝叶斯公式掌握情况，来做做下面这个题吧？ 可以把答案留在评论区。
100个人中有10个罪犯. 已知10个罪犯中，有5个是穿红衣服，有8个穿白袜子。这一百个人中，有10个人穿红衣服，有45个穿白袜子，请问一个概率，遇到一个红衣服白袜子的人，多大的可能这人是个罪犯？
